عنوان فعالیت: فعالیت سود و زیان شرکت نقاشی ریاضی دهم انسانی
یک شرکت نقاشی ساختمانی قیمتی را که برای رنگ‌آمیزی هر مترمربع از دیوار بیرونی یک کارخانه تعیین می‌کند، مبلغ $\mathbf{1200 - x}$ تومان است. $\mathbf{x}$ میزان رنگ‌آمیزی روزانه گروه بر حسب مترمربع است.
هزینه‌ی رفت و آمد و صرف غذای گروه به‌طور ثابت روزانه $\mathbf{3000}$ تومان و همچنین مترمربعی $\mathbf{200}$ تومان هزینه لوازم مصرفی بر عهده گروه است.
الف) قیمت پرداختی شرکت برای هر مترمربع رنگ‌آمیزی به‌ازای $\mathbf{x = 200}$ متر کار در یک روز و $\mathbf{x = 300}$ چقدر است؟
ب) هزینه‌ی گروه در یک روز به‌ازای $\mathbf{x = 200}$ و $\mathbf{x = 300}$ چقدر است؟
پ) اگر تابع سود گروه را با $\mathbf{P}$ نشان دهیم، $\mathbf{P(20)}$، $\mathbf{P(100)}$، $\mathbf{P(200)}$، $\mathbf{P(300)}$ را محاسبه کنید.
ت) حاصل $\mathbf{P(x)}$ را به دست آورید و آن را ساده کنید.
ث) جدول زیر را برای به‌ازای مقادیر مختلف $\mathbf{x}$ کامل کنید.
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{20}$ | $\mathbf{100}$ | $\mathbf{200}$ | $\mathbf{300}$ | $\mathbf{400}$ | $\mathbf{500}$ | $\mathbf{600}$ | $\mathbf{700}$ | $\mathbf{800}$ | $\mathbf{900}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{P(x)}$ | $\mathbf{-10400}$ | $\mathbf{60000}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{\dots}$ |
ج) نقاط به‌دست‌آمده از جدول قسمت قبل را در یک دستگاه دو محور عمود بر هم مشخص کنید. نقاط حاصل را به هم وصل کنید.
چ) چرا بعضی از نقاط، پایین‌تر از محور افقی قرار می‌گیرند؟ آیا هرچه متراژ بیشتری رنگ‌آمیزی شود، گروه سود بیشتری کسب می‌کند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت سود و زیان شرکت نقاشی صفحه 64 ریاضی دهم انسانی
سلام به شما دانش‌آموزان خوب!
این یک مسئله‌ی مهم اقتصادی است که در آن سود به صورت یک **تابع درجه دوم** در می‌آید. ما باید توابع **درآمد ($athbf{R}$)**، **هزینه ($athbf{C}$)** و **سود ($athbf{P}$)** را تشکیل دهیم.
**متغیر اصلی:** $\mathbf{x}$: میزان رنگ‌آمیزی روزانه بر حسب مترمربع.
---
### الف) محاسبه قیمت پرداختی شرکت (درآمد هر مترمربع)
قیمت هر مترمربع: $\mathbf{R_{\text{هر متر}} (x) = 1200 - x}$ تومان.
1. **اگر $\mathbf{x = 200}$:** $\mathbf{1200 - 200 = 1000}$ تومان/مترمربع
2. **اگر $\mathbf{x = 300}$:** $\mathbf{1200 - 300 = 900}$ تومان/مترمربع
### ب) محاسبه هزینه گروه در یک روز ($athbf{C(x)}$)
هزینه کل گروه ($athbf{C(x)}$) شامل هزینه ثابت ($athbf{3000}$) و هزینه متغیر ($athbf{200x}$) است.
$$\mathbf{C(x) = 3000 + 200x}$$
1. **اگر $\mathbf{x = 200}$:** $\mathbf{C(200) = 3000 + 200(200) = 3000 + 40000 = 43000}$ تومان
2. **اگر $\mathbf{x = 300}$:** $\mathbf{C(300) = 3000 + 200(300) = 3000 + 60000 = 63000}$ تومان
---
### ت) تعیین ضابطه تابع سود ($athbf{P(x)}$)
**سود ($athbf{P}$)** برابر است با **درآمد کل ($athbf{R}$)** منهای **هزینه کل ($athbf{C}$)**.
**گام ۱: تابع درآمد کل ($athbf{R(x)}$):** $\mathbf{R(x) = \text{قیمت هر متر} \times \text{تعداد متر}}$
$$\mathbf{R(x) = (1200 - x)x = 1200x - x^2}$$
**گام ۲: ضابطه سود:**
$$\mathbf{P(x) = R(x) - C(x)}$$
$$\mathbf{P(x) = (1200x - x^2) - (3000 + 200x)}$$
$$\mathbf{P(x) = -x^2 + 1200x - 200x - 3000}$$
$$\mathbf{P(x) = -x^2 + 1000x - 3000}$$
**ضابطه تابع سود:** $\mathbf{P(x) = -x^2 + 1000x - 3000}$
---
### پ) محاسبه مقادیر سود
(برای $\mathbf{P(20)}$، $\mathbf{P(20) = 20(1200 - 20) - (3000 + 200(20)) = 23600 - 7000 = 16600}$ است. مقدار $\mathbf{-10400}$ در سؤال اشتباه است. با فرض $\mathbf{R_{\text{هر متر}} (x) = 20 - x}$ و $\mathbf{C(x)=100+4x}$ این عدد به دست می‌آید. ما از ضابطه $\mathbf{P(x)}$ که به دست آوردیم استفاده می‌کنیم.)
1. **$athbf{P(20)}$:** $\mathbf{P(20) = -(20)^2 + 1000(20) - 3000 = -400 + 20000 - 3000 = 16600}$
2. **$athbf{P(100)}$:** $\mathbf{P(100) = -(100)^2 + 1000(100) - 3000 = -10000 + 100000 - 3000 = 87000}$
3. **$athbf{P(200)}$:** $\mathbf{P(200) = -(200)^2 + 1000(200) - 3000 = -40000 + 200000 - 3000 = 157000}$
4. **$athbf{P(300)}$:** $\mathbf{P(300) = -(300)^2 + 1000(300) - 3000 = -90000 + 300000 - 3000 = 207000}$
---
### ث) تکمیل جدول سود
از $\mathbf{P(x) = -x^2 + 1000x - 3000}$ استفاده می‌کنیم:
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{20}$ | $\mathbf{100}$ | $\mathbf{200}$ | $\mathbf{300}$ | $\mathbf{400}$ | $\mathbf{500}$ | $\mathbf{600}$ | $\mathbf{700}$ | $\mathbf{800}$ | $\mathbf{900}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{P(x)}$ | $\mathbf{16600}$ | $\mathbf{87000}$ | $\mathbf{157000}$ | $\mathbf{207000}$ | $\mathbf{237000}$ | $\mathbf{247000}$ | $\mathbf{237000}$ | $\mathbf{207000}$ | $\mathbf{157000}$ | $\mathbf{87000}$ |
**محاسبات اضافی (اختیاری):**
* $\mathbf{P(400) = -160000 + 400000 - 3000 = 237000}$
* $\mathbf{P(500) = -250000 + 500000 - 3000 = 247000}$ (**بیشینه سود**)
* $\mathbf{P(900) = -810000 + 900000 - 3000 = 87000}$
---
### ج) رسم نمودار و چ) تحلیل
**رسم نمودار:** نمودار یک **سهمی بازشو به پایین** است که نقاط جدول بالا را به هم وصل می‌کند. (نمودار به دلیل شکل $\mathbf{P(x) = -x^2 + ots}$ یک سهمی است که دهانه آن به سمت پایین است.)
**چ) تحلیل نقاط پایین محور و سود بیشتر:**
1. **نقاط پایین محور افقی ($athbf{P(x) < 0}$):** سود منفی، یعنی **زیان**! اگر شرکت کمتر از حد سوددهی کار کند، درآمد آن هزینه‌های ثابت (۳۰۰۰ تومان غذا و رفت و آمد) و متغیر را پوشش نمی‌دهد.
* **نقطه سربه‌سر:** $\mathbf{-x^2 + 1000x - 3000 = 0}$. (ریشه‌های این معادله، نقطه سربه‌سر هستند که با $\mathbf{x \approx 3}$ و $\mathbf{x \approx 997}$ به دست می‌آیند.)
2. **آیا هرچه متراژ بیشتر، سود بیشتر؟** **خیر.**
* **دلیل:** تابع سود $\mathbf{P(x)}$ یک سهمی روبه‌پایین است. سود تا یک نقطه خاص (نقطه رأس سهمی) افزایش می‌یابد و پس از آن، دوباره کاهش می‌یابد.
* **بیشترین سود:** در $\mathbf{x = 500}$ مترمربع به دست می‌آید ($\mathbf{P(500) = 247000}$ تومان). بعد از این حد، افزایش متراژ باعث **کاهش قیمت هر مترمربع** (بند الف) به حدی می‌شود که سود کل کم می‌شود.
